Pivovarov, Dmytro, Dr.-Ing.

Die realistische Simulation einer technischen Struktur oder eines dynamischen Systems kann nicht durchgeführt werden, ohne verschiedene Quellen von Unschärfen zu berücksichtigen. Unschärfen entstehen durch unzureichende Messgenauigkeit, Modellannahmen, das Fehlen präziser Daten oder durch natürliche Schwankungen und Zufälligkeiten in einigen Prozessen. Es wurde gezeigt, dass die Auswirkungen von Unschärfen stark nichtlinear und schwer vorhersehbar sein können. Dementsprechend ist die Modellierung von Unschärfen ein wichtiges und aktuelles Thema.Trotz zahlreicher vielversprechender Ergebnisse im Bereich der stochastischen und fuzzy Modellierung gibt es noch keinen allgemeinen Ansatz für Unschärfen. Alle vorhandenen Methoden wurden nur für eine bestimmte Art von Modellen oder eine bestimmte Art von Unschärfen entwickelt und getestet. Es gibt keinen universellen Solver, der für die realistischen technischen Probleme geeignet ist, bei denen alle Arten von Unschärfen das Modell beeinflussen.Eine weitere Herausforderung sind die hohen Rechenkosten für die Modellierung der Unschärfen. Es gibt zwei Gruppen von Methoden. Die erste Gruppe stellt Methoden vor, die auf einigen erheblichen Vereinfachungen beruhen. Sie sind schnell und haben eine hohe Genauigkeit, aber es fehlt ihnen an Allgemeinheit. Die zweite Gruppe kann potenziell auf die allgemeinsten Bedingungen verallgemeinert werden, ist aber extrem teuer. Dieses Problem kann nur mit dem fortschrittlichsten Ansatz zur Ordnungsreduktion gelöst werden - die Low-Rank-Tensor-Zerlegung.Das Hauptziel unserer Forschung ist es daher, einen universellen Solver mit reduzierter Ordnung zu entwickeln, der aus eng miteinander verknüpften und in Synergie arbeitenden Methoden besteht, der effizient und präzise sein wird und sich auf die allgemeinsten Problemstellungen anwenden lässt. Der Kern des neuen Solvers besteht aus der spektralen nicht-deterministischen FEM, die durch adaptives Sampling und die Low-Rank-Tensor-Zerlegung ergänzt wird.

Numerische Homogenisierung benötigt zwei Finite-Element-Modelle, d.h. zum einen ein Modell auf der Makroskale und zum anderen ein Modell der zugrundeliegenden Struktur des Materials auf der Mikroskale. Dabei benötigt die numerische Homogenisierung den Transfer der makroskopischen Lasten auf die Mikroskale und die Mittelung der entsprechenden Antwort der Mikrostruktur, um die effektiven makroskopischen Eigenschaften zu erhalten. Eine Herausforderung stellt dabei die numerische Homogenisierung von heterogenen Materialien mit Unschärfe in der Mikrostruktur dar, wie sie in diesem Projekt betrachtet werden.Die Unschärfe im makroskopischen Antwortverhalten heterogener Materialien resultiert dabei zum einen aus der natürlichen Streuung in der Geometrie und den Materialeigenschaften und zum anderen aus ungenügenden Informationen über die Mikrostruktur. Der erste Unschärfe-Typ wird als aleatorisch bezeichnet und kann durch stochastische Methoden beschrieben werden. Der zweite Typ wird als epistemische Unschärfe bezeichnet und kann durch Fuzzy-Methoden beschrieben werden. Modelle, die beide Typen enthalten, werden als polymorph bezeichnet und benötigen eine Kombination aus stochastischen und Fuzzy-Methoden.In Phase I entwickelten wir Methoden zur akkuraten und effizienten Behandlung polymorpher Unschärfe in der Geometrie der Mikrostruktur und demonstrierten diese an einem Benchmark-Problem.Die Ziele in Phase II sind die Weiterentwicklung der Modellierungsansätze und insbesondere die Anwendung auf den Entwurf von Strukturen. Das Ergebnis der Phase II soll eine ausgereifte Methode sein, die die Beschreibung von Unschärfe von der untersten Ebene der Mikrostruktur des Materials über die makroskopische Struktursimulation bis zum Strukturentwurf erlaubt. Im Einzelnen sollen in Phase II folgende Herausforderungen angegangen werden:- Es soll die Entwicklung fuzzy-stochastischer Benchmark-RVEs für die Mikrostruktur heterogener Materialien weitergeführt werden, um zu einer realistischeren und genaueren Beschreibung polymorpher Unschärfe in der Mikrostruktur zu gelangen.- Die Modellierungsansätze für die spektrale nicht-deterministische FE-Analyse sollen auf die nicht-deterministische, erweiterte isogeometrische Analyse (XIGA) erweitert werden.- Die numerischen Kosten für große Systeme mit Unschärfe sind insbesondere bei Anwendungen mit vielen Abfragen untragbar hoch. Daher sind Modellreduktionsverfahren ein unerlässliches Werkzeug, um die Mikroskalen-Simulationen zu beschleunigen.- Es sollen geeignete Metamodelle auf der Makroskale entwickelt werden, um große Simulationen von Strukturen durchführen zu können. - Schließlich soll der Einfluss von Unschärfe in der Mikrostruktur auf das statische und dynamische Verhalten von Makrostrukturen unter unscharfer Belastung untersucht werden.

Numerische Homogenisierung benötigt zwei Finite-Element-Modelle, d.h. zum einen ein Modell auf der Makroskale und zum anderen ein Modell der zugrundeliegenden Struktur des Materials auf der Mikroskale. Dabei benötigt die numerische Homogenisierung den Transfer der makroskopischen Lasten auf die Mikroskale und die Mittelung der entsprechenden Antwort der Mikrostruktur, um die effektiven makroskopischen Eigenschaften zu erhalten. Eine Herausforderung stellt dabei die numerische Homogenisierung von heterogenen Materialien mit Unschärfe in der Mikrostruktur dar, wie sie in diesem Projekt betrachtet werden.Die Unschärfe im makroskopischen Antwortverhalten heterogener Materialien resultiert dabei zum einen aus der natürlichen Streuung in der Geometrie und den Materialeigenschaften und zum anderen aus ungenügenden Informationen über die Mikrostruktur. Der erste Unschärfe-Typ wird als aleatorisch bezeichnet und kann durch stochastische Methoden beschrieben werden. Der zweite Typ wird als epistemische Unschärfe bezeichnet und kann durch Fuzzy-Methoden beschrieben werden. Modelle, die beide Typen enthalten, werden als polymorph bezeichnet und benötigen eine Kombination aus stochastischen und Fuzzy-Methoden.In Phase I entwickelten wir Methoden zur akkuraten und effizienten Behandlung polymorpher Unschärfe in der Geometrie der Mikrostruktur und demonstrierten diese an einem Benchmark-Problem.Die Ziele in Phase II sind die Weiterentwicklung der Modellierungsansätze und insbesondere die Anwendung auf den Entwurf von Strukturen. Das Ergebnis der Phase II soll eine ausgereifte Methode sein, die die Beschreibung von Unschärfe von der untersten Ebene der Mikrostruktur des Materials über die makroskopische Struktursimulation bis zum Strukturentwurf erlaubt. Im Einzelnen sollen in Phase II folgende Herausforderungen angegangen werden:- Es soll die Entwicklung fuzzy-stochastischer Benchmark-RVEs für die Mikrostruktur heterogener Materialien weitergeführt werden, um zu einer realistischeren und genaueren Beschreibung polymorpher Unschärfe in der Mikrostruktur zu gelangen.- Die Modellierungsansätze für die spektrale nicht-deterministische FE-Analyse sollen auf die nicht-deterministische, erweiterte isogeometrische Analyse (XIGA) erweitert werden.- Die numerischen Kosten für große Systeme mit Unschärfe sind insbesondere bei Anwendungen mit vielen Abfragen untragbar hoch. Daher sind Modellreduktionsverfahren ein unerlässliches Werkzeug, um die Mikroskalen-Simulationen zu beschleunigen.- Es sollen geeignete Metamodelle auf der Makroskale entwickelt werden, um große Simulationen von Strukturen durchführen zu können. - Schließlich soll der Einfluss von Unschärfe in der Mikrostruktur auf das statische und dynamische Verhalten von Makrostrukturen unter unscharfer Belastung untersucht werden.

Das übergeordnete Ziel dieses Vorhabens auf der Methodenseite ist es, eine vom Rechenaufwand handhabbare numerische Methode zu etablieren, die es erlaubt, polymorphe Unsicherheiten in großdimensionierten Problemen (die z.B. im Rahmen der numerischen Analyse der Mikrostruktur heterogener Materialien entstehen) zu erfassen. Dazu wird die Methode auf der einen Seite unscharfe Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Zufallsparameter (die die Geometrie der Mikrostruktur beschreiben) berücksichtigen und auf der anderen Seite wird die Methode nur auf wenigen reduzierten Basismoden beruhen. Diese Bausteine werden es ermöglichen, zusätzlich zu epistemischen auch aleatorische Unsicherheiten in einer numerisch zugänglichen Art und Weise zu behandeln.Das übergeordnete Ziel dieses Vorhabens auf der Anwendungsseite ist es, ein nicht-deterministisches, makroskopisches Materialmodel zu etablieren. Das Model wird einerseits der Heterogenität der dem Material zugrundeliegenden Mikrostruktur durch numerische Homogenisierung Rechnung tragen und andererseits polymorphe Unsicherheiten in der Geometriebeschreibung der Mikrostruktur erfassen. Das so formulierte nicht-deterministische, makroskopische Materialmodel stellt somit den notwendigen Startpunkt für den Entwurf makroskopischer Ingenieurstrukturen unter Berücksichtigung polymorpher Unsicherheiten in der Beschreibung der, heterogenen Materialien zugrundeliegenden, Mikrostruktur dar.